FUNDAMENTOS DE LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

2.1 TEORÍA ELEMENTAL DE PROBABILIDAD

De  acuerdo a (MURRAY R. S., 1976)

“En cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso específico ocurrirá o no. Como medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Si estamos seguros de que el suceso ocurrirá decimos que su probabilidad es 100% 0 y 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurra decimos  que su probabilidad es cero.” (pág. 5).

(Anderson, David.,  Sweeney., Dennis., Thomas., 2008) Señalan que: “La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Por tanto, las probabilidades son una medida del grado de incertidumbre asociado con cada uno de los eventos previamente enunciados. Si cuenta con las probabilidades, tiene la capacidad de determinar la posibilidad de ocurrencia que tiene cada evento. Los valores de probabilidad se encuentran en una escala de 0 a 1” (pág. 143).

De acuerdo a (Jay l. Devore, 2005)

“el termino probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en cualquier situación donde podría ocurrir uno de varios resultados posibles, la teoría de la probabilidad proporciona métodos para cuantificar las probabilidades relacionada con varios resultados.” (pág. 52)                  

2.2 PROBABILIDAD DE EVENTOS

Espacio muestral.

(Jay L. Devore, 2008) señala que, Espacio Muestral “El espacio muestral de un experimento denotado por , es el conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento.”(pág.47)

Ejemplo:

Supóngase que se analiza un cilindro de aire, para detectar la presencia de una molécula rara. Los resultados posibles de este experimento pueden  resumirse  simplemente como {si} o {no}, lo que depende si el cilindro seleccionado contiene  o  no la molécula. Es así como en este ejemplo el espacio muestral solo contiene dos resultados posibles, S = {si, no}

(RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012) señala que: espacio muestral

“Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se le llama espacio muestral y se representa con el simbolo S. A cada resultado en un espacio muestral se le llama elemento o miembro del espacio muestral, o simplemente punto muestral. Si el espacio muestral tiene un numero finito de elementos, podemos listar los miembros separados por comas y encerrarlos entre llaves” (pág. 36).

Ejemplo:

Considere el experimento de lanzar un dado. Si nos interesara el número que aparece en la cara superior, el espacio muestral seria S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Si solo estuviéramos interesados en si el número es par o impar, el espacio muestral seria simplementeS2 = {par, impar}” (pag.36).

(Wackerly, Dennis D./, William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer , 2010) señala que: espacio muestral

“El espacio muestral asociado con un experimento es el conjunto formado por todos los posibles puntos muestrales. Un espacio muestral estará denotado por S” (pág. 28).

Ejemplo:

Si lanzamos un dado, un espacio o conjunto muestral de todos los resultados posibles se da por {1, 2, 3, 4, 5, 6 | en tanto que otro es {par, impar}  Sin embargo, es lógico que el último no sería adecuado para determinar, por ejemplo, si un resultado es divisible por 3.Frecuentemente es útil dibujar un espacio muestral gráficamente. En tal caso es deseable utilizar números en cambio de letras siempre y cuando sea posible” (pág. 4).

Eventos.

(Wackerly, Dennis D./, William M., Richard L.,2010) Señalan que: un evento

Un evento simple no se puede descomponer. Cada evento simple corresponde a un y sólo un punto muestra. La letra E con un subíndice se empleará para denotar un evento simple o el correspondiente punto muestra”(pag. 27).

(Jay L. Devore, 2008) señala que, un evento “un evento es cualquier recopilación (subconjunto) de resultados contenidos en el espacio muestral . Un evento es simple si consiste en exactamente un resultado y compuesto si consiste en más de un resultado.”(pág.48)

(RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE., 2012) señala que: un evento

“Un evento es un subconjunto de un espacio muestral” (pag.39).

Ejemplo:

Cuando se observa el número de bombas en uso en cada una de dos gasolineras de 6 bombas, existen 49 posibles resultados, por lo que existen 49 eventos simples: E1 _ {(0, 0)}, E2 _ {(0, 1)}, . . . , E49 _ {(6, 6)}. Ejemplos de eventos compuestos son A _ {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} _ el evento en que el número de bombas en uso es el mismo en ambas gasolineras.

La unión

(Jay L. Devore, 2008) señala que, La unión “la unión de dos eventos , denotados por  y leidos , es el evento que consiste en todos los resultados que están en  o en  ocurren, así también resultados donde ocurre exactamente uno), es decir, todos los resultados en por lo menos uno de los eventos.” (Pág.49)

(RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE., 2012) señala que: la unión

La unión de dos eventos A y B, que se denota con el simbolo A ∪ B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos” (pág. 40).

Ejemplo:

Sea A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}; entonces, A ∪ B = {a, b, c, d, e}” (pag.40)

(MURRAY R. S.,  1976) Señala que: la unión

El conjunto de todos los elementos (o puntos) que pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B, se llama la  unión de A y B y se escribe A U B” (pág. 2).

La intersección.

(Jay L. Devore, 2008) señala que, La intersección “La intersección de dos eventos , denotada por x y leida “”, es el evento que consiste en todos los resultados que están tanto en  como en .” (Pág.49)

Diagrama de ven.

Según (José Alfredo, 2008)

“Los diagramas de Venn son representaciones gráficas para mostrar la relación entre los elementos de los conjuntos. Por lo general cada conjunto se representa por medio de un circulo, ovalo o rectángulo, y la forma en que se entrelazan las figuras que representan a los conjuntos muestra la relación que existe entre los elementos de los respectivos conjuntos.” (pág. 79)

Espacio muestral y eventos.

Según (Seymour Lipschutz, 1968)

“el conjunto  de todos los resultados posibles de un experimento dado se llama el espacio muestral. Un resultado particular, esto es, un elemento de , se llama un punto muestral o muestra. Un evento  es un conjunto de resultados o, en otras palabras, un subconjunto del espacio muestral .”(Pág.38)

2.3      PROBABILIDAD CON TECNICAS DE CONTEO: AXIOMAS, TEOREMAS.

AXIOMAS

Según (Seymour Lipschutz, 1968)
“sea s un espacio muestral, sea E la clase de eventos y sea P una función de valores reales definida en . Entonces se llama función de probabilidad. Y  es llamada la probabilidad del evento  si se cumplen los siguientes axiomas.” (Pág.40)

..

2.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL

Según (Seymour Lipschutz, 1968)

“Sea  un evento arbitrario de un espacio muestral  con La probabilidad de que un evento  suceda una vez que  haya sucedido o, en otras palabras, la probabilidad condicional de  dado , escrito  se define como sigue:” (pág.54)

Según (Jay L. Devore, 2008)

“Para dos eventos cualesquiera  con , la probabilidad condicional de  dado que  ha ocurrido está definida por: (Pág.

Según (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, 2012).

“La probabilidad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ya ocurrió algún evento A se llama probabilidad condicional y se denota con P (B|A). El símbolo P (B|A) por lo general se lee como “la probabilidad de que ocurra B, dado que ocurrió A”, o simplemente, “la probabilidad de B, dado A” .(pág. 62).

Ejemplo:

Supóngase que una caja contiene 3 pelotas blancas y 2 pelotas negras. Sea E1 el evento “la primera pelota que se saca es negra” y E2 el evento “la segunda pelota que se saca es negra”, donde las pelotas no se vuelvan a colocar en la caja una vez sacadas. Aquí E1 y E2 son eventos dependientes.

2.5 LEY MULTIPLICATIVA

Según (Jay L. Devore, 2008)

“la definición de la probabilidad condicional da el siguiente resultado, obtenido multiplicando ambos miembros de la ecuación.”(Pág.69)

Según (Mario F. Triola, 2009 )

“ (el suceso ocurre un primer ensayo y el suceso ocurre en un segundo ensayo)” (Pág.159)

2.6 EVENTOS INTEPENDIENTES: Regla de Bayes

Según (Jay L. Devore, 2008)

“el cálculo de una probabilidad posterior  a partir de probabilidades previas dadas   y probabilidades condicionales  ocupa una posición central en la probabilidad elemental. La regla general de dichos cálculos, los que en realidad son una aplicación simple de la regla de la  multiplicación, se remonta al reverendo Thomas Bayes, quien vivió en el siglo XVII.” (Pág.72)

Según (Seymour Lipschutz, 1968)

“supongamos que los eventos  forman una partición de un espacio muestral ; esto es, que los eventos  son mutuamente exclusivos y su unión es . Ahora sea.  Otro evento.”(Pág.56)

Ejemplo:

Tres máquinas A, B y C producen respetivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si selecciona al azar un artículo. Hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso.

Sea el evento de que un artículo es defectuoso. Entonces según (1) visto atrás,

2.7 VARIABLE ALEATORIA

Según (Jay L. Devore, 2008)

“para un espacio muestral dado  de algún experimento, una variable aleatoria (va, o r, por sus siglas en inglés) es cualquier regla que asocia un numero con caa resultado en  En lenguaje matemático, una variable aleatoria es una función cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo rango es el conjunto de números reales.”(Pág.87)

Según (Seymour Lipschutz, 1968)

“una variable aleatoria  de un espacio muestral  es una función de  en el conjunto  de los números reales tal que la imagen inversa de cada intervalo de  es un evento ( o suceso) e S.”(Pág.74)

 Ejemplo:

Usamos la notación abreviada  para la probabilidad de los sucesos “X toma el valor a” y”X toma valores en el intervalo [a, b]. “Esto es,

 

Según (levin, Richard I. Rubin, David S. 2004)

“una variable es aleatoria  si toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Esta variable aleatoria puede ser discreta o continua. Si se puede tomar un número limitado de valores, entonces es una variable aleatoria discreta. En el otro extremo, si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, entonces se trata de una variable aleatoria continua.”(Pág.181)

2.9 MODELOS ANALÍTICOS DE FENÓMENOS ALEATORIOS DISCRETOS

Según (Yal l. devore, 2008)

““Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria cuyos valores posibles o constituyen un conjunto finito o bien pueden ser puestos en lista en una secuencia infinita en la cual existe un primer elemento, un segundo elemento, y así sucesivamente (“contablemente” infinita)” (pag. 89)

Ejemplo:

Todas las variables aleatorias de los ejemplos 3.1-3.4 son discretas. Como otro ejemplo, suponga que se eligen al azar parejas de casados y que a cada persona se le hace una prueba de sangre hasta encontrar un esposo y esposa con el mismo factor Rh. Con X _ el número de pruebas de sangre que serán realizadas, los posibles valores de X son D _ {2, 4, 6, 8, . . .}.

Como los posibles valores se dieron en secuencia, X es una variable aleatoria discreta.

2.10 MODELOS ANALÍTICOS DE FENÓMENOS  ALEATORIOS CONTINUOS.

Según (Yal l. devore, 2008)

“Una variable aleatoria es continua si ambas de las siguientes condiciones aplican:

Su conjunto de valores posibles se compone de o todos los números que hay en un solo intervalo sobre la línea de numeración (posiblemente de extensión infinita, es decir, desde __ hasta _) o todos los números en una unión excluyente de dichos intervalos (p. ej., [0, 10] _ [20, 30]).

Ningún valor posible de la variable aleatoria tiene probabilidad positiva, esto es,

P(X _ c) _ 0 con cualquier valor posible de c.” (pag. 89)

Bibliografía

·         (Jay L. Devore, 2008) probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, 7 edición, editorial CENGAGE LEARNING

·         (Seymour Lipschutz, 1968) Probabilidad, Primera edición, Editorial MC GRAW HILL, México S. A. de C. V.

·         (levin, Richard I. Rubin, David S. 2004) estadística para la administración y economía, séptima edición, PEARSON PRENTICE HALL, México

·         (Montgomery, D; Runger, G., 2002) “Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería”.2ª. Edición. México: Limusa.

·         (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE., 2012).”Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias”. (9 ed.). México :PEARSON EDUCACIÓN

·         (Wackerly, Dennis D./, William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer 2010).” Estadística matemática con aplicaciones”. (7 ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

·         Según (Mario F. Triola, 2009 ) estadística, Décima edición, PEARSON, Mexico.

·         Según (Yal l. devore, 2008)“Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias” séptima edición editorial CENGAGE LEARNIG