domingo, 27 de septiembre de 2015

PERMUTACIONES, COMBINACIONES, DIAGRAMA DE ÁRBOL, NOTACIÓN FACTORIAL Y TEOREMA DE BINOMIO

1.3 NOTACIÓN FACTORIAL.
Según (Seymour lipschutz, 1992)
Notación factorial “se usa la notación , léase “  factorial”, para denotar el producto de los enteros positivos de 1 a , inclusive:  equivalentemente, se define  Por También es conveniente definir ” (pág.257)
De acuerdo a (J.Susan Milton, Jesse C.Arnold, 2004)
Notación factorial “sea  un entero positivo. Se llama factorial al producto  y se denota con  Cero factorial, que se denota con es por definición 1.”(pág.12)
De acuerdo a (José A. Jiménez Murillo, 1994)
Notación factorial “combinación es todo arreglo de elementos que se seleccionan de un conjunto, en donde no interesa la posición que ocupa cada uno de los elementos en el arreglo, esto es, no importa si un elemento determinado es el primero, el de en medio o el que esta hasta el final de arreglo. El número de combinaciones de n objetos distintos, tomados r a la vez, se encuentra dado por la expresión ; n!.  ”(pág.56)
1.4 PERMUTACIONES
Según (Murray R.Spiegel, John Schiller, R. Alu Srinivasan, 2010)
Permutaciones “suponga que se tiene n objetos diferentes y que se desea ordenar r de estos objetos uno tras otro en una línea. Como hay n maneras distintas de elegir el primer objeto y después maneras diferentes de elegir el segundo objeto,…… y por ultimo  maneras diversas de elegir el objeto -esimo, se deduce, de acuerdo con el principio fundamental de conteo, que la cantidad de ordenamientos diferentes o permutaciones, como suele llamárseles.(pág.9)

De acuerdo a  (Ramón Espinosa Armenta, 2010)
Permutación “Sea  un conjunto finito no vacío. Una k-permutación de  es un arreglo ordenado de elementos distintos de . Equivalente, una k-permutación de  es una función inyectiva . (pág.306)

De acuerdo a (José A. Jiménez murillo, 2009)
Permutaciones “las permutaciones son el número de formas distintas en que uno o varios objetos pueden colocarse, intercambiando sus lugares y siguiendo ciertas reglas específicas para guardar un orden. También se puede considerar como todo arreglo en el que es importante la posición que ocupa cada uno de los elementos que integran dicho arreglo.”(pág.46)
Ejemplo
De un conjunto de 5 computadoras (A, B, C, D, E)se seleccionan 3 para mandarse respectivamente a los departamentos de ventas, compras, y mantenimiento. Si la primera que se selecciona es para ventas, la segunda para compras y la tercera para mantenimiento, ¿De cuantas formas se pueden formar los paquetes?
La respuesta es la siguiente:
5 x 4 x 3=60
5
x
4
x
3
=
60
ventas

compras

mantenimiento


 La computadora de ventas se puede seleccionar de 5 formas diferentes, la de compras de 4 ya que se seleccionó una para ventas y la de mantenimiento de 3 porque ya se seleccionó una para ventas y otra para  compras.

1.5 COMBINACIONES
Según  ((Murray R.Spiegel, John Schiller, R. Alu Srinivasan, 2010)
Combinaciones “En las permutaciones interesa el orden de los objetos. Por ejemplo, abc es una permutación diferente de bca. Sin embargo, en muchos problemas solo estamos interesados en seleccionar o escoger objetos sin importar su orden. A estas elecciones se les llama combinaciones. Por ejemplo, abc y bca representan la misma combinación. El número total de combinaciones de  objetos seleccionados de objetos (que también se conoce como combinaciones de  objetos tomados de  en ) se denota  o bien .(pág.9)


De acuerdo a  (Ramón Espinosa Armenta, 2010)
CombinaciónSea  un conjunto finito. Una k-combinación de   es un subconjunto de con  elementos. La expresión  denota el número de  k-combinaciones de un conjunto de  elementos.(pág.308)
De acuerdo a (José A. Jiménez murillo, 2009)
Combinaciones “combinación es todo arreglo de elementos que se seleccionan de un conjunto, en donde no interesa la posición que ocupa cada uno de los elementos en el arreglo, esto es, no importa si un elemento determinado es el primero, el de medio o el que está al final del arreglo.”(pág.52)
Ejemplo
Ahora supóngase que la academia esta integrada por 8 maestros, y que de este conjunto se desea seleccionar a 3 de ellos que integraran el comité que ocupara los puestos de presidente, secretario y vocal. Suponiendo que no es importante quien ocupe cualquiera de los puestos, ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden formar?
El número de arreglo es:


1.6 DIAGRAMA DE ARBOL
De acuerdo a (Murray R.Spiegel, John Schiller, R. Alu Srinivasan, 2010)
Diagramas de árbol “Si una acción puede realizarse de maneras diferentes y después una segunda acción puede realizarse de  maneras distintas,…, y por ultimo una -ésima acción puede realizarse  maneras diversas, entonces estas  acciones pueden realizarse, en el orden señalado, maneras diferentes.” (pág.8)
Según (Willian W.Hines Douglas C.Montgomery, 1980)
Diagramas de árbol “en experimentos simples, puede resultar útil un diagrama de árbol en la enumeración del espacio del muestreo. Considérese el Ej. 1-8, en el que se arrojó tres veces una moneda perfecta. El conjunto de los posibles resultados  pudo encontrase siguiendo todos los recorridos en el diagrama de árbol.(pág.43)
De acuerdo (Luis Rincón, 2007)
Diagrama de árbol “El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un numero finito de maneras de ser llevado a cabo “(pág.)


1.7 TEOREMA DEL BINOMIO
Según (Ramón Espinosa Armenta, 2010)
Teorema del binomio “sean dos enteros no negativos, tales que . el coeficiente binomial  está definido por: ”(pág.38)
Según (Devore, Jay, 2008)
Teorema de binomio “se define como factorial de un numero natural  al producto de  por todos los numero que le preceden. Se denota mediante  .
Ejemplos




De acuerdo a (Richard Johnsonbaugh, 2005).
Teorema del binomio “Obtenga la expansión de (3x 2y)4 usando el teorema del binomio.
Si se toma a = 3x, b = −2y y n = 4
Ejemplos  
(3x 2y)4 = (a + b)4
= C(4, 0)a4b0 + C(4, 1)a3b1 + C(4, 2)a2b2 +C(4, 3)a1b3 + C(4, 4)a0b4
= C(4, 0)(3x)4(2y)0 + C(4, 1)(3x)3(2y)1 +C(4, 2)(3x)2(2y)2 + C(4, 3)(3x)1(2y)3
+C(4, 4)(3x)0(2y)4
= 34x4 + 4 · 33x3(2y) + 6 · 32x2(2)2 y2 +4(3x) (2)3 y3 + (2)4 y4
= 81x4 216x3 y + 216x2 y2 96xy3 + 16y4.”(p.268).
















BIBLIOGRAFIA
Ø  (Murray R.Spiegel, John Schiller, R. Alu Srinivasan, 2010) Probabilidad y estadística, edición, editorial MC GRAW HILL.

Ø  (Ramón Espinosa Armenta, 2010) Matemáticas Discretas, primera edición, editorial ALFAOMEGA.

Ø  (José A. Jiménez murillo, 2009) matemáticas para la computación, primera edición, editorial ALFAOMEGA.


Ø  (J.Susan Milton, Jesse C.Arnold, 2004) probabilidad y estadística con aplicaciones para ingeniería y ciencias computacionales, edición, editorial MC GRAW HILL.

Ø     (Seymour lipschutz, 1992) Probabilidad, Primera Edición, Editorial MC GRAW HILL

Ø  (Winfriend Karl Grassmann, 2003) matemática discreta y lógica, primera edición, editorial Prentice Hall.

Ø  (Devore, Jay L., 2008) probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, 7 edición, editorial CENGAGE LEARNING

Ø  (Johnsonbaugh, Richard, 2005) MATEMÁTICAS DISCRETAS. 6 edición, México: Pearson Educación



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