1.3 NOTACIÓN FACTORIAL.
Según (Seymour lipschutz, 1992)
Notación factorial “se usa la notación , léase “ factorial”, para denotar el producto de los enteros positivos de 1 a , inclusive: equivalentemente, se define Por También es conveniente definir ” (pág.257)
Notación factorial “sea un entero positivo. Se llama factorial al producto y se denota con Cero factorial, que se denota con es por definición 1.”(pág.12)
De acuerdo a (José A. Jiménez Murillo, 1994)
Notación factorial “combinación es todo arreglo de elementos que se seleccionan de un conjunto, en donde no interesa la posición que ocupa cada uno de los elementos en el arreglo, esto es, no importa si un elemento determinado es el primero, el de en medio o el que esta hasta el final de arreglo. El número de combinaciones de n objetos distintos, tomados r a la vez, se encuentra dado por la expresión ; n!. ”(pág.56)
1.4 PERMUTACIONES
Según (Murray R.Spiegel,
John Schiller, R. Alu Srinivasan, 2010)
Permutaciones
“suponga que se tiene n objetos diferentes y que se desea ordenar r de estos
objetos uno tras otro en una línea. Como hay n maneras distintas de elegir el
primer objeto y después
maneras diferentes de elegir el segundo
objeto,…… y por ultimo
maneras diversas de elegir el objeto
-esimo, se deduce, de acuerdo con el
principio fundamental de conteo, que la cantidad de ordenamientos diferentes o
permutaciones, como suele llamárseles.(pág.9)
De acuerdo a (Ramón Espinosa Armenta, 2010)
Permutación
“Sea
un
conjunto finito no vacío. Una k-permutación de
es
un arreglo ordenado de
elementos distintos de
. Equivalente, una k-permutación de
es
una función inyectiva
. (pág.306)
De acuerdo a (José A. Jiménez murillo,
2009)
Permutaciones
“las permutaciones son el número de formas distintas en que uno o varios
objetos pueden colocarse, intercambiando sus lugares y siguiendo ciertas reglas
específicas para guardar un orden. También se puede considerar como todo
arreglo en el que es importante la posición que ocupa cada uno de los elementos
que integran dicho arreglo.”(pág.46)
Ejemplo
De un conjunto de 5 computadoras (A, B,
C, D, E)se seleccionan 3 para mandarse respectivamente a los departamentos de
ventas, compras, y mantenimiento. Si la primera que se selecciona es para
ventas, la segunda para compras y la tercera para mantenimiento, ¿De cuantas
formas se pueden formar los paquetes?
La respuesta es la siguiente:
5 x 4 x 3=60
5
|
x
|
4
|
x
|
3
|
=
|
60
|
ventas
|
compras
|
mantenimiento
|
La
computadora de ventas se puede seleccionar de 5 formas diferentes, la de
compras de 4 ya que se seleccionó una para ventas y la de mantenimiento de 3
porque ya se seleccionó una para ventas y otra para compras.
1.5 COMBINACIONES
Según ((Murray R.Spiegel, John Schiller, R. Alu
Srinivasan, 2010)
Combinaciones “En
las permutaciones interesa el orden de los objetos. Por ejemplo, abc es una
permutación diferente de bca. Sin embargo, en muchos problemas solo estamos
interesados en seleccionar o escoger objetos sin importar su orden. A estas
elecciones se les llama combinaciones. Por ejemplo, abc y bca representan la
misma combinación. El número total de combinaciones de
objetos seleccionados de
objetos (que también se conoce como combinaciones
de
objetos tomados de
en
) se denota
o
bien
.(pág.9)
De acuerdo a (Ramón Espinosa Armenta, 2010)
Combinación “Sea
un
conjunto finito. Una k-combinación de
es
un subconjunto de
con
elementos. La expresión
denota el número de k-combinaciones de un conjunto de
elementos.(pág.308)
De acuerdo a (José A. Jiménez murillo,
2009)
Combinaciones
“combinación es todo arreglo de elementos que se seleccionan de un conjunto, en
donde no interesa la posición que ocupa cada uno de los elementos en el
arreglo, esto es, no importa si un elemento determinado es el primero, el de
medio o el que está al final del arreglo.”(pág.52)
Ejemplo
Ahora supóngase que la academia esta
integrada por 8 maestros, y que de este conjunto se desea seleccionar a 3 de
ellos que integraran el comité que ocupara los puestos de presidente,
secretario y vocal. Suponiendo que no es importante quien ocupe cualquiera de
los puestos, ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden formar?
El número de arreglo es:
1.6 DIAGRAMA DE ARBOL
De acuerdo a (Murray
R.Spiegel, John Schiller, R. Alu Srinivasan, 2010)
Diagramas
de árbol “Si una acción puede realizarse de
maneras diferentes y después una segunda
acción puede realizarse de
maneras distintas,…, y por ultimo una
-ésima acción puede realizarse
maneras diversas, entonces estas
acciones pueden realizarse, en el orden
señalado,
maneras diferentes.” (pág.8)
Según (Willian W.Hines Douglas C.Montgomery, 1980)
Diagramas
de árbol “en experimentos simples, puede resultar útil un diagrama de
árbol en la enumeración del espacio del muestreo. Considérese el Ej. 1-8, en el
que se arrojó tres veces una moneda perfecta. El conjunto de los posibles
resultados pudo encontrase siguiendo
todos los recorridos en el diagrama de árbol.(pág.43)
De acuerdo (Luis Rincón, 2007)
Diagrama
de árbol “El diagrama de árbol es una representación gráfica de los
posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde
cada uno de los pasos tiene un numero finito de maneras de ser llevado a cabo
“(pág.)
1.7 TEOREMA DEL BINOMIO
Según (Ramón Espinosa
Armenta, 2010)
Teorema
del binomio “sean
dos enteros no negativos, tales que
. el coeficiente binomial
está definido por:
”(pág.38)
Según (Devore, Jay, 2008)
Teorema
de binomio “se define como factorial de un numero natural
al
producto de
por todos los numero que le preceden. Se
denota mediante
.
Ejemplos
De acuerdo a (Richard Johnsonbaugh, 2005).
Teorema
del binomio “Obtenga la expansión de (3x − 2y)4 usando el
teorema del binomio.
Si se toma a = 3x, b = −2y y n = 4
Ejemplos
(3x − 2y)4 = (a + b)4
= C(4,
0)a4b0 + C(4,
1)a3b1 + C(4,
2)a2b2 +C(4,
3)a1b3 + C(4,
4)a0b4
=
C(4,
0)(3x)4(−2y)0
+ C(4,
1)(3x)3(−2y)1
+C(4, 2)(3x)2(−2y)2 + C(4,
3)(3x)1(−2y)3
+C(4,
4)(3x)0(−2y)4
=
34x4
+ 4 · 33x3(−2y) + 6 · 32x2(−2)2 y2 +4(3x) (−2)3 y3 + (−2)4 y4
= 81x4
− 216x3 y
+ 216x2 y2
− 96xy3 + 16y4.”(p.268).
BIBLIOGRAFIA
Ø (Murray
R.Spiegel, John Schiller, R. Alu Srinivasan, 2010) Probabilidad y estadística,
edición, editorial MC GRAW HILL.
Ø (Ramón
Espinosa Armenta, 2010) Matemáticas Discretas, primera edición, editorial
ALFAOMEGA.
Ø (José
A. Jiménez murillo, 2009) matemáticas para la computación, primera edición,
editorial ALFAOMEGA.
Ø (J.Susan
Milton, Jesse C.Arnold, 2004) probabilidad y estadística con aplicaciones para
ingeniería y ciencias computacionales,
edición, editorial MC GRAW HILL.
Ø (Seymour
lipschutz, 1992) Probabilidad, Primera Edición, Editorial MC GRAW HILL
Ø (Winfriend Karl Grassmann, 2003) matemática discreta y lógica, primera edición, editorial Prentice Hall.
Ø (Devore,
Jay L., 2008) probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, 7 edición,
editorial CENGAGE LEARNING
Ø (Johnsonbaugh, Richard, 2005) MATEMÁTICAS DISCRETAS.
6 edición, México: Pearson Educación
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